マクスウェルの応力テンソル















電磁気学

VFPt Solenoid correct2.svg






  • 電気

  • 磁性































マクスウェルの応力テンソル(マクスウェルのおうりょくテンソル、英: Maxwell stress tensor)とは、電磁場の応力テンソルである。
マクスウェル応力は電磁場の運動量の流れの密度を表す。


マクスウェル応力 T



T≡(D⊗E−I∫D⋅dE)+(B⊗H−I∫B⋅dH){displaystyle mathrm {T} equiv left({boldsymbol {D}}otimes {boldsymbol {E}}-mathrm {I} int {boldsymbol {D}}cdot d{boldsymbol {E}}right)+left({boldsymbol {B}}otimes {boldsymbol {H}}-mathrm {I} int {boldsymbol {B}}cdot d{boldsymbol {H}}right)}{mathrm  {T}}equiv left({boldsymbol  {D}}otimes {boldsymbol  {E}}-{mathrm  {I}}int {boldsymbol  {D}}cdot d{boldsymbol  {E}}right)+left({boldsymbol  {B}}otimes {boldsymbol  {H}}-{mathrm  {I}}int {boldsymbol  {B}}cdot d{boldsymbol  {H}}right)



で定義される。
真空中においては



T=ϵ0(E⊗E−IE22)+1μ0(B⊗B−IB22){displaystyle mathrm {T} =epsilon _{0}left({boldsymbol {E}}otimes {boldsymbol {E}}-mathrm {I} ,{frac {{boldsymbol {E}}^{2}}{2}}right)+{frac {1}{mu _{0}}}left({boldsymbol {B}}otimes {boldsymbol {B}}-mathrm {I} ,{frac {{boldsymbol {B}}^{2}}{2}}right)}{mathrm  {T}}=epsilon _{0}left({boldsymbol  {E}}otimes {boldsymbol  {E}}-{mathrm  {I}},{frac  {{boldsymbol  {E}}^{2}}{2}}right)+{frac  {1}{mu _{0}}}left({boldsymbol  {B}}otimes {boldsymbol  {B}}-{mathrm  {I}},{frac  {{boldsymbol  {B}}^{2}}{2}}right)



となる。



概要


マクスウェル応力の電場に関する部分の発散は



Te=∂i(DiE)−Di∇Ei=(∂iDi)E+Di∂iE−Di∇Ei=(∇D)E+(D⋅E)E−E(D⋅E)=(∇D)E−(∇×E){displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathrm {T} _{text{e}}&=partial _{i}(D_{i}{boldsymbol {E}})-D_{i}nabla E_{i}\&=(partial _{i}D_{i}){boldsymbol {E}}+D_{i}partial _{i}{boldsymbol {E}}-D_{i}nabla E_{i}\&=(nabla cdot {boldsymbol {D}}){boldsymbol {E}}+({boldsymbol {D}}cdot nabla _{E}){boldsymbol {E}}-nabla _{E}({boldsymbol {D}}cdot {boldsymbol {E}})\&=(nabla cdot {boldsymbol {D}}){boldsymbol {E}}-{boldsymbol {D}}times (nabla times {boldsymbol {E}})\end{aligned}}}{begin{aligned}nabla cdot {mathrm  {T}}_{{text{e}}}&=partial _{i}(D_{i}{boldsymbol  {E}})-D_{i}nabla E_{i}\&=(partial _{i}D_{i}){boldsymbol  {E}}+D_{i}partial _{i}{boldsymbol  {E}}-D_{i}nabla E_{i}\&=(nabla cdot {boldsymbol  {D}}){boldsymbol  {E}}+({boldsymbol  {D}}cdot nabla _{E}){boldsymbol  {E}}-nabla _{E}({boldsymbol  {D}}cdot {boldsymbol  {E}})\&=(nabla cdot {boldsymbol  {D}}){boldsymbol  {E}}-{boldsymbol  {D}}times (nabla times {boldsymbol  {E}})\end{aligned}}



となる。
ここでベクトル三重積の公式



(b×c)=b(a⋅c)−(a⋅b)c{displaystyle {boldsymbol {a}}times ({boldsymbol {b}}times {boldsymbol {c}})={boldsymbol {b}}({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {c}})-({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {b}}){boldsymbol {c}}}{boldsymbol  {a}}times ({boldsymbol  {b}}times {boldsymbol  {c}})={boldsymbol  {b}}({boldsymbol  {a}}cdot {boldsymbol  {c}})-({boldsymbol  {a}}cdot {boldsymbol  {b}}){boldsymbol  {c}}



を用いている。また、ナブラの添え字 E は E に作用する(D に作用しない)ことを明示している。
磁場の部分も考えて、マクスウェルの方程式を用いれば



T=(∇D)E−(∇×E)+(∇B)H−(∇×H)=ρE+D×B∂t−D∂t−j=∂(D×B)∂t+ρE+j×B{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathrm {T} &=(nabla cdot {boldsymbol {D}}){boldsymbol {E}}-{boldsymbol {D}}times (nabla times {boldsymbol {E}})+(nabla cdot {boldsymbol {B}}){boldsymbol {H}}-{boldsymbol {B}}times (nabla times {boldsymbol {H}})\&=rho {boldsymbol {E}}+{boldsymbol {D}}times {frac {partial {boldsymbol {B}}}{partial t}}-{boldsymbol {B}}times {frac {partial {boldsymbol {D}}}{partial t}}-{boldsymbol {B}}times {boldsymbol {j}}\&={frac {partial ({boldsymbol {D}}times {boldsymbol {B}})}{partial t}}+rho {boldsymbol {E}}+{boldsymbol {j}}times {boldsymbol {B}}\end{aligned}}}{begin{aligned}nabla cdot {mathrm  {T}}&=(nabla cdot {boldsymbol  {D}}){boldsymbol  {E}}-{boldsymbol  {D}}times (nabla times {boldsymbol  {E}})+(nabla cdot {boldsymbol  {B}}){boldsymbol  {H}}-{boldsymbol  {B}}times (nabla times {boldsymbol  {H}})\&=rho {boldsymbol  {E}}+{boldsymbol  {D}}times {frac  {partial {boldsymbol  {B}}}{partial t}}-{boldsymbol  {B}}times {frac  {partial {boldsymbol  {D}}}{partial t}}-{boldsymbol  {B}}times {boldsymbol  {j}}\&={frac  {partial ({boldsymbol  {D}}times {boldsymbol  {B}})}{partial t}}+rho {boldsymbol  {E}}+{boldsymbol  {j}}times {boldsymbol  {B}}\end{aligned}}



となる。
これを体積 V で積分すると、発散定理を用いて



V⁡dS⋅T=∂t∫V(D×B)dV+∫V(ρE+j×B)dV{displaystyle oint _{partial V}d{boldsymbol {S}}cdot mathrm {T} ={frac {partial }{partial t}}int _{V}({boldsymbol {D}}times {boldsymbol {B}})dV+int _{V}(rho {boldsymbol {E}}+{boldsymbol {j}}times {boldsymbol {B}})dV}oint _{{partial V}}d{boldsymbol  {S}}cdot {mathrm  {T}}={frac  {partial }{partial t}}int _{V}({boldsymbol  {D}}times {boldsymbol  {B}})dV+int _{V}(rho {boldsymbol  {E}}+{boldsymbol  {j}}times {boldsymbol  {B}})dV



となる。
左辺は表面から流入する運動量を意味する。右辺第二項は分布電荷に作用するローレンツ力であり、体積内の分布電荷の運動量の時間変化を意味する。
従って、右辺第一項は電磁場の運動量の時間変化と解釈され、



g=D×B{displaystyle {boldsymbol {g}}={boldsymbol {D}}times {boldsymbol {B}}}{boldsymbol  {g}}={boldsymbol  {D}}times {boldsymbol  {B}}



は電磁場の運動量密度を表す。



固有値・固有ベクトル


真空中でのマクスウェルの応力テンソルTの固有値λは次式となる。



}={−ϵ0E2+B2/μ02, ±0E2−B2/μ02)2+(ϵ0E⋅B)2}{displaystyle {lambda }=left{-{frac {epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/mu _{0}}{2}},~pm {sqrt {left({frac {epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/mu _{0}}{2}}right)^{2}+left({frac {epsilon _{0}}{mu _{0}}}{boldsymbol {E}}cdot {boldsymbol {B}}right)^{2}}}right}}{lambda }=left{-{frac  {epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/mu _{0}}{2}},~pm {sqrt  {left({frac  {epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/mu _{0}}{2}}right)^{2}+left({frac  {epsilon _{0}}{mu _{0}}}{boldsymbol  {E}}cdot {boldsymbol  {B}}right)^{2}}}right}



また、電場E(または磁場B)のみの場合、固有値λと固有ベクトルvは次式となる。



}={−ϵ0E22, −ϵ0E22, +ϵ0E22}{displaystyle {lambda }=left{-{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}},~-{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}},~+{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}}right}}{displaystyle {lambda }=left{-{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}},~-{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}},~+{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}}right}}




{v}={E×Ey, −Ez, EEx}{displaystyle {{boldsymbol {v}}}=left{{boldsymbol {E}}times {boldsymbol {E}}_{y},~-{boldsymbol {E}}times {boldsymbol {E}}_{z},~{boldsymbol {E}}E_{x}right}}{displaystyle {{boldsymbol {v}}}=left{{boldsymbol {E}}times {boldsymbol {E}}_{y},~-{boldsymbol {E}}times {boldsymbol {E}}_{z},~{boldsymbol {E}}E_{x}right}}




関連項目



  • エネルギー・運動量テンソル

  • ポインティング・ベクトル









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