パウリの排他原理
量子力学 | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ΔxΔp≥ℏ2{displaystyle Delta x,Delta pgeq {frac {hbar }{2}}}  | ||||||||||||||||
不確定性原理 | ||||||||||||||||
紹介 · 数学的定式化 | ||||||||||||||||
| ||||||||||||||||
パウリの排他原理（パウリのはいたげんり、Pauli exclusion principle）とは、2 つ以上のフェルミ粒子は同一の量子状態を占めることはできない、というものであり、1925年にヴォルフガング・パウリが提出したフェルミ粒子に関する仮定である[1]。パウリの定理、パウリの排他律、パウリの禁制、パウリの禁則などとも呼ばれる。
パウリの排他原理はフェルミ粒子について成り立つ法則であり、ボース粒子については成り立たない（ボース粒子は、複数の粒子が同一の量子状態を占めることがありうる）。
目次
1 スピンの発見
2 スピン座標
3 フェルミ粒子とボース粒子
4 多電子原子系
4.1 ハートリー近似
4.2 2 電子原子
4.3 N 電子原子
5 スレーター行列式による証明
6 脚注
7 参考文献
8 外部リンク
9 関連項目
スピンの発見
電子の自転と公転
ナトリウムのD線の実験において、磁場がない場合は単一光が観察されるはずであったが、予想に反してD線が 2 本に分裂することが観察された。それを受け、1924年にヴォルフガング・パウリは電子が 2 値の量子自由度を持つことを提案した。
1925年にウーレンベックとゴーズミットはまだ知られていない電子の自由度があると考え、電子は原子核の周りを公転しているだけではなく、電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた[2][3]。この電子の持つ、自転に似た内部自由度のことをスピンと呼ぶ。
電子が自身のスピンに相当する角運動量を自転によって得るためには、光速を超える速度で自転しなければならず、相対論に反する。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒ（英語: Ralph Kronig）によって提案されたものの、パウリによって否定されていた。
自転に伴う角運動量が存在し、自転の向きが異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が 2 つに分裂する。
スピン座標
これまで電子の状態を表す波動関数は、空間座標のみの関数と考え、
Ψ(x,y,z){displaystyle Psi ({mathit {x}},{mathit {y}},{mathit {z}})}
と表記してきた。
しかし、電子にはスピンという新たな自由度があることが分かったため、これを新たな座標として加える必要がある。
磁場中において、軌道角運動量は 2l+1{displaystyle 2{mathit {l}}+1}
エネルギー準位が 2 つに分裂していることから、原子内の電子のスピンに対応した準位は 2 つであることが分かる。
よって、
2s+1=2{displaystyle 2{mathit {s}}+1=2}
であり、
s=12{displaystyle {mathit {s}}={frac {1}{2}}}
となる。
また、軌道角運動量の場合には、磁気量子数 m{displaystyle {mathit {m}}}
ms=−12,12{displaystyle {mathit {m}}_{s}=-{frac {1}{2}},{frac {1}{2}}}
と考えるのが妥当となる。
以上のことから、スピン座標を σ{displaystyle sigma }
Ψ(x,y,z,σ){displaystyle Psi ({mathit {x}},{mathit {y}},{mathit {z}},sigma )}
で書けることとなる。ただし、 σ{displaystyle sigma }
フェルミ粒子とボース粒子
同じ種類の粒子は全く同じ質量、電荷、スピンを持つため、同じ種類の粒子を互いに区別することが出来ない。
2 個の同種粒子、例として電子を考え、2 個の電子を電子 1、電子 2 と呼ぶと、その波動関数は位置座標 r{displaystyle mathbf {r} }
Ψ(r1,σ1,r2,σ2){displaystyle Psi (mathbf {r} _{1},sigma _{1},mathbf {r} _{2},sigma _{2})}
と表される。
ここで、電子 1 と電子 2 の位置座標とスピン座標を入れ替えると、
Ψ(r2,σ2,r1,σ1){displaystyle Psi (mathbf {r} _{2},sigma _{2},mathbf {r} _{1},sigma _{1})}
となる。
ところが、2 個の電子は区別できないため、上記の 2 つの波動関数は同一の状態を表す波動関数である。
したがって、C{displaystyle {mathit {C}}}
Ψ(r2,σ2,r1,σ1)=CΨ(r1,σ1,r2,σ2){displaystyle Psi (mathbf {r} _{2},sigma _{2},mathbf {r} _{1},sigma _{1})={mathit {C}}Psi (mathbf {r} _{1},sigma _{1},mathbf {r} _{2},sigma _{2})}
と書ける。
さらに 2 つの電子の変数をもう一度入れ替えると、
Ψ(r1,σ1,r2,σ2)=CΨ(r2,σ2,r1,σ1)=C2Ψ(r1,σ1,r2,σ2){displaystyle {begin{aligned}Psi (mathbf {r} _{1},sigma _{1},mathbf {r} _{2},sigma _{2})&={mathit {C}}Psi (mathbf {r} _{2},sigma _{2},mathbf {r} _{1},sigma _{1})&={mathit {C}}^{2}Psi (mathbf {r} _{1},sigma _{1},mathbf {r} _{2},sigma _{2})end{aligned}}}
という関係が導かれ、C=−1,+1{displaystyle {mathit {C}}=-1,+1}
この C{displaystyle {mathit {C}}}
粒子の具体例として、
C=−1{displaystyle {mathit {C}}=-1}の場合・・・電子、陽子、中性子
C=+1{displaystyle {mathit {C}}=+1}の場合・・・光子
が挙げられる。
スピンが 12,32,52,...{displaystyle {frac {1}{2}},{frac {3}{2}},{frac {5}{2}},...}
対して、スピンが 0,1,2,...{displaystyle 0,1,2,...}
多電子原子系
ハートリー近似
原子番号 N{displaystyle mathrm {N} }
Ψ(ξ1,ξ2,...,ξN){displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2},...,xi _{mathrm {N} })}
と書ける。
ここで、原子の中で N{displaystyle mathrm {N} }
を、以下のような積の形で表される規格化された 1 電子波動関数
ϕi(ξ)=Ψj(r)α(σ){displaystyle phi _{mathit {i}}(xi )=Psi _{mathit {j}}(mathbf {r} )alpha (sigma )}
で表す近似
Ψ(ξ1,ξ2,...,ξN)=ϕa(ξ1)ϕb(ξ2)...ϕn(ξN){displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2},...,xi _{mathrm {N} })=phi _{mathit {a}}(xi _{1})phi _{mathit {b}}(xi _{2})...phi _{mathit {n}}(xi _{mathrm {N} })}
を導入する。これをハートリー近似と言う。
ただし、α(σ){displaystyle alpha (sigma )}
2 電子原子
簡単のために、まず 2 電子原子系を考える。ハートリー近似をもとに波動関数を考えると、以下のように書ける。
Ψ(ξ1,ξ2)=ϕa(ξ1)ϕb(ξ2){displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2})=phi _{mathit {a}}(xi _{1})phi _{mathit {b}}(xi _{2})}
今考えているのは電子であるから、座標の入れ替えによる反対称性 (符号の反転) を満足しなければならない。しかし、この波動関数は反対称性を満足していないため、式を書き換える必要がある。
上記の波動関数の座標を入れ替えると、
Ψ(ξ2,ξ1)=ϕa(ξ2)ϕb(ξ1){displaystyle Psi (xi _{2},xi _{1})=phi _{mathit {a}}(xi _{2})phi _{mathit {b}}(xi _{1})}
となる。
この式を考慮に入れ、反対称化して規格化すると、以下の波動関数が得られる。
Ψ(ξ1,ξ2)=12![ϕa(ξ1)ϕb(ξ2)−ϕa(ξ2)ϕb(ξ1)]{displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2})={frac {1}{sqrt {2!}}}[phi _{mathit {a}}(xi _{1})phi _{mathit {b}}(xi _{2})-phi _{mathit {a}}(xi _{2})phi _{mathit {b}}(xi _{1})]}
![Psi(xi_1,xi_2)=frac{1}{sqrt{2!}}[phi_mathit{a}(xi_1)phi_mathit{b}(xi_2)-phi_mathit{a}(xi_2)phi_mathit{b}(xi_1)]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a9f39ebc85be93135b53a0415a7a34c62d06e3)
ここで、この波動関数を行列式で表現することを考えると、
Ψ(ξ1,ξ2)=12!|ϕa(ξ1)ϕb(ξ1)ϕa(ξ2)ϕb(ξ2)|{displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2})={frac {1}{sqrt {2!}}}{begin{vmatrix}phi _{mathit {a}}(xi _{1})&phi _{mathit {b}}(xi _{1})\phi _{mathit {a}}(xi _{2})&phi _{mathit {b}}(xi _{2})end{vmatrix}}}
となる。
行列式の性質から、
- 座標 ξ1,ξ2{displaystyle xi _{1},xi _{2}}
を交換すると、行が交換されて行列式の符号が変わる ⇒{displaystyle Rightarrow }
反対称性を満足している
- 量子数 a,b{displaystyle {mathit {a}},{mathit {b}}}
が一致すると、2 つの列が一致するため、行列式が 0 となる ⇒{displaystyle Rightarrow }
ということが言える。
N 電子原子
2 電子原子での波動関数を行列式で表す考え方を拡張すると、原子番号 N{displaystyle mathrm {N} }
Ψ(ξ1,ξ2,...,ξN)=1N!|ϕa(ξ1)ϕb(ξ1)⋯ϕn(ξ1)ϕa(ξ2)ϕb(ξ2)⋯ϕn(ξ2)⋮⋮⋱⋮ϕa(ξN)ϕb(ξN)⋯ϕn(ξN)|{displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2},...,xi _{mathrm {N} })={frac {1}{sqrt {mathrm {N} !}}}{begin{vmatrix}phi _{mathit {a}}(xi _{1})&phi _{mathit {b}}(xi _{1})&cdots &phi _{mathit {n}}(xi _{1})\phi _{mathit {a}}(xi _{2})&phi _{mathit {b}}(xi _{2})&cdots &phi _{mathit {n}}(xi _{2})\vdots &vdots &ddots &vdots \phi _{mathit {a}}(xi _{N})&phi _{mathit {b}}(xi _{N})&cdots &phi _{mathit {n}}(xi _{N})\end{vmatrix}}}
これをスレーター行列式と呼ぶ。
また、以上のように、波動関数を行列式を用いて近似する方法をハートリー・フォック近似と言う。
スレーター行列式による証明
Ψ(ξ1,ξ2,...,ξN)=1N!|ϕa(ξ1)ϕb(ξ1)⋯ϕn(ξ1)ϕa(ξ2)ϕb(ξ2)⋯ϕn(ξ2)⋮⋮⋱⋮ϕa(ξN)ϕb(ξN)⋯ϕn(ξN)|{displaystyle Psi (xi _{1},xi _{2},...,xi _{mathrm {N} })={frac {1}{sqrt {mathrm {N} !}}}{begin{vmatrix}phi _{mathit {a}}(xi _{1})&phi _{mathit {b}}(xi _{1})&cdots &phi _{mathit {n}}(xi _{1})\phi _{mathit {a}}(xi _{2})&phi _{mathit {b}}(xi _{2})&cdots &phi _{mathit {n}}(xi _{2})\vdots &vdots &ddots &vdots \phi _{mathit {a}}(xi _{N})&phi _{mathit {b}}(xi _{N})&cdots &phi _{mathit {n}}(xi _{N})\end{vmatrix}}}
スレーター行列式は、行列式の性質から、
- 2 つの行の入れ替え(電子 i,j{displaystyle {mathit {i}},{mathit {j}}}
の座標 ξi,ξj{displaystyle xi _{mathit {i}},xi _{mathit {j}}}
の入れ替え)で行列式は -1 倍となる ⇒{displaystyle Rightarrow }
- 量子数が一致し、ある 2 つの列が同一となると、行列式は 0 となる ⇒{displaystyle Rightarrow }
ということが言える。
この行列式の性質から総じて言えることは
2 つ以上の電子(フェルミ粒子)は、同一の量子状態 (ϕa,ϕb,...){displaystyle (phi _{mathit {a}},phi _{mathit {b}},...)}
ということである。
以上から、ハートリー・フォック近似によるスレーター行列式により、パウリの排他原理は自動的に満たされていることが分かる。
脚注
^ W. Pauli,“Über den Zusammenhang des Abschlusses der Elektronengruppen im Atom mit der Komplexstruktur der Spektren,” Z. Physik, 31, p.765 (1925) doi:10.1007/BF02980631
^ G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1925年). “Ersetzung der Hypothese vom unmechanischen Zwang durch eine Forderung bezüglich des inneren Verhaltens jedes einzelnen Elektrons”. Naturwissenschaften 13 (47): 953-954. doi:10.1007/BF01558878.
^ G.E. Uhlenbeck, S. Goudsmit (1926年). “Spinning Electrons and the Structure of Spectra”. Nature 117: 264-265. doi:10.1038/117264a0.
参考文献
 | 出典は列挙するだけでなく、脚注などを用いてどの記述の情報源であるかを明記してください。記事の信頼性向上にご協力をお願いいたします。（2017年6月） |
朝永振一郎 『スピンはめぐる』 (新版) みすず書房、2008年7月30日。ISBN 978-4-622-07369-7。
原康夫 『量子力学』 岩波書店〈岩波基礎物理シリーズ 5〉、2009年11月5日。ISBN 978-4000079259。
小出昭一郎 『量子力学 (I)』 (改訂版) 裳華房〈基礎物理学選書 5A〉、2012年2月20日。ISBN 978-4785321321。
村上雅人 『なるほど量子力学 (III)』 海鳴社、2008年2月。ISBN 978-4875252498。
河原林研 『量子力学』 岩波書店〈現代物理学叢書〉、2001年2月15日。ISBN 978-4000067539。
中嶋貞雄 『量子力学 II』 岩波書店〈物理入門コース 6〉、2009年10月15日。ISBN 978-4000076463。
外部リンク
- Wolfgang Pauli,“Exclusion Principle and Quantum Mechanics ”, Nobel Lecture, December 13, 1946; パウリのノーベル物理学賞受賞時の講演。パウリの排他律を発見するに至る経緯が記されている。
関連項目
- フントの規則
- フェルミ粒子
- スピノル
- ヴォルフガング・パウリ
- ジョージ・ウーレンベック
- サミュエル・ゴーズミット
