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数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Z_p や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Q_p もしくはその代数的閉包である。

ディリクレ L-函数

ディリクレ L-函数は、級数

L(s,χ)=∑n=1∞χ(n)ns=∏p prime11−χ(p)p−s{displaystyle L(s,chi )=sum _{n=1}^{infty }{frac {chi (n)}{n^{s}}}=prod _{p{text{ prime}}}{frac {1}{1-chi (p)p^{-s}}}}

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

L(1−n,χ)=−Bn,χn{displaystyle L(1-n,chi )=-{frac {B_{n,chi }}{n}}}

である。ここに、B_n,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

∑n=0∞Bn,χtnn!=∑a=1fχ(a)teateft−1{displaystyle displaystyle sum _{n=0}^{infty }B_{n,chi }{frac {t^{n}}{n!}}=sum _{a=1}^{f}{frac {chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}}

で定義される。

補完を使った定義

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 L_p(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、L_p(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し

Lp(1−n,χ)=(1−χ(p)pn−1)L(1−n,χ){displaystyle displaystyle L_{p}(1-n,chi )=(1-chi (p)p^{n-1})L(1-n,chi )}

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない
場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同（英語版）(Kummer congruence)と関連している。

n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

Lp(1−n,χ)=(1−χω−n(p)pn−1)L(1−n,χω−n){displaystyle displaystyle L_{p}(1-n,chi )=(1-chi omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,chi omega ^{-n})}

が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標（英語版）(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

p-進測度と見なすと

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-進測度（英語版）(p-adic measures)（あるいは、p-進分布（英語版）(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Z_p 上の Q_p-値を持つ函数として）、メイザー・メリン変換（英語版）(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。

総実体

Deligne & Ribet (1980) では、前に行われている Serre (1973) に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。Barsky (1978) と Cassou-Noguès (1979)は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

参考文献

• 
  Barsky, Daniel (1978), “Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels”, in Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR 525346, http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0 
  


• 
  Cassou-Noguès, Pierrette (1979), “Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques”, Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, doi:10.1007/BF01389911, ISSN 0020-9910, MR 524276 
  


• 
  Coates, John (1989), “On p-adic L-functions”, Astérisque (177): 33–59, ISSN 0303-1179, MR 1040567, http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0 
  


• 
  Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf 
  


• 
  Deligne, Pierre; Ribet, Kenneth A. (1980), “Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields”, Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, doi:10.1007/BF01453237, ISSN 0020-9910, MR 579702 
  


• 
  Iwasawa, Kenkichi (1969), “On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR 0269627, http://jstor.org/stable/1970817 
  


• 
  Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08112-0, MR 0360526 
  


• 
  Katz, Nicholas M. (1975), “p-adic L-functions via moduli of elliptic curves”, Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math.,, 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 479–506, MR 0432649 
  


• 
  Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003 
  


• 
  Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), “Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 214/215: 328–339, ISSN 0075-4102, MR 0163900, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626 
  


• 
  Serre, Jean-Pierre (1973), “Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math, 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191–268, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN 978-3-540-06483-1, MR 0404145