マクスウェルの応力テンソル
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電磁気学 | ||||||||||||
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マクスウェルの応力テンソル（マクスウェルのおうりょくテンソル、英: Maxwell stress tensor）とは、電磁場の応力テンソルである。
マクスウェル応力は電磁場の運動量の流れの密度を表す。
マクスウェル応力 T は
T≡(D⊗E−I∫D⋅dE)+(B⊗H−I∫B⋅dH){displaystyle mathrm {T} equiv left({boldsymbol {D}}otimes {boldsymbol {E}}-mathrm {I} int {boldsymbol {D}}cdot d{boldsymbol {E}}right)+left({boldsymbol {B}}otimes {boldsymbol {H}}-mathrm {I} int {boldsymbol {B}}cdot d{boldsymbol {H}}right)}
で定義される。
真空中においては
T=ϵ0(E⊗E−IE22)+1μ0(B⊗B−IB22){displaystyle mathrm {T} =epsilon _{0}left({boldsymbol {E}}otimes {boldsymbol {E}}-mathrm {I} ,{frac {{boldsymbol {E}}^{2}}{2}}right)+{frac {1}{mu _{0}}}left({boldsymbol {B}}otimes {boldsymbol {B}}-mathrm {I} ,{frac {{boldsymbol {B}}^{2}}{2}}right)}
となる。
概要
マクスウェル応力の電場に関する部分の発散は
∇⋅Te=∂i(DiE)−Di∇Ei=(∂iDi)E+Di∂iE−Di∇Ei=(∇⋅D)E+(D⋅∇E)E−∇E(D⋅E)=(∇⋅D)E−D×(∇×E){displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathrm {T} _{text{e}}&=partial _{i}(D_{i}{boldsymbol {E}})-D_{i}nabla E_{i}\&=(partial _{i}D_{i}){boldsymbol {E}}+D_{i}partial _{i}{boldsymbol {E}}-D_{i}nabla E_{i}\&=(nabla cdot {boldsymbol {D}}){boldsymbol {E}}+({boldsymbol {D}}cdot nabla _{E}){boldsymbol {E}}-nabla _{E}({boldsymbol {D}}cdot {boldsymbol {E}})\&=(nabla cdot {boldsymbol {D}}){boldsymbol {E}}-{boldsymbol {D}}times (nabla times {boldsymbol {E}})\end{aligned}}}
となる。
ここでベクトル三重積の公式
a×(b×c)=b(a⋅c)−(a⋅b)c{displaystyle {boldsymbol {a}}times ({boldsymbol {b}}times {boldsymbol {c}})={boldsymbol {b}}({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {c}})-({boldsymbol {a}}cdot {boldsymbol {b}}){boldsymbol {c}}}
を用いている。また、ナブラの添え字 E は E に作用する（D に作用しない）ことを明示している。
磁場の部分も考えて、マクスウェルの方程式を用いれば
∇⋅T=(∇⋅D)E−D×(∇×E)+(∇⋅B)H−B×(∇×H)=ρE+D×∂B∂t−B×∂D∂t−B×j=∂(D×B)∂t+ρE+j×B{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathrm {T} &=(nabla cdot {boldsymbol {D}}){boldsymbol {E}}-{boldsymbol {D}}times (nabla times {boldsymbol {E}})+(nabla cdot {boldsymbol {B}}){boldsymbol {H}}-{boldsymbol {B}}times (nabla times {boldsymbol {H}})\&=rho {boldsymbol {E}}+{boldsymbol {D}}times {frac {partial {boldsymbol {B}}}{partial t}}-{boldsymbol {B}}times {frac {partial {boldsymbol {D}}}{partial t}}-{boldsymbol {B}}times {boldsymbol {j}}\&={frac {partial ({boldsymbol {D}}times {boldsymbol {B}})}{partial t}}+rho {boldsymbol {E}}+{boldsymbol {j}}times {boldsymbol {B}}\end{aligned}}}
となる。
これを体積 V で積分すると、発散定理を用いて
∮∂VdS⋅T=∂∂t∫V(D×B)dV+∫V(ρE+j×B)dV{displaystyle oint _{partial V}d{boldsymbol {S}}cdot mathrm {T} ={frac {partial }{partial t}}int _{V}({boldsymbol {D}}times {boldsymbol {B}})dV+int _{V}(rho {boldsymbol {E}}+{boldsymbol {j}}times {boldsymbol {B}})dV}
となる。
左辺は表面から流入する運動量を意味する。右辺第二項は分布電荷に作用するローレンツ力であり、体積内の分布電荷の運動量の時間変化を意味する。
従って、右辺第一項は電磁場の運動量の時間変化と解釈され、
g=D×B{displaystyle {boldsymbol {g}}={boldsymbol {D}}times {boldsymbol {B}}}
は電磁場の運動量密度を表す。
固有値・固有ベクトル
真空中でのマクスウェルの応力テンソルTの固有値λは次式となる。
{λ}={−ϵ0E2+B2/μ02, ±(ϵ0E2−B2/μ02)2+(ϵ0μ0E⋅B)2}{displaystyle {lambda }=left{-{frac {epsilon _{0}E^{2}+B^{2}/mu _{0}}{2}},~pm {sqrt {left({frac {epsilon _{0}E^{2}-B^{2}/mu _{0}}{2}}right)^{2}+left({frac {epsilon _{0}}{mu _{0}}}{boldsymbol {E}}cdot {boldsymbol {B}}right)^{2}}}right}}
また、電場E(または磁場B)のみの場合、固有値λと固有ベクトルvは次式となる。
{λ}={−ϵ0E22, −ϵ0E22, +ϵ0E22}{displaystyle {lambda }=left{-{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}},~-{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}},~+{frac {epsilon _{0}E^{2}}{2}}right}}
{v}={E×Ey, −E×Ez, EEx}{displaystyle {{boldsymbol {v}}}=left{{boldsymbol {E}}times {boldsymbol {E}}_{y},~-{boldsymbol {E}}times {boldsymbol {E}}_{z},~{boldsymbol {E}}E_{x}right}}
関連項目
- エネルギー・運動量テンソル
- ポインティング・ベクトル
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Category:テンソル
