レベル表現























レベル
level
量記号

次元
無次元量
種類
スカラー
SI単位
併用単位 ベル（B）、ネーパ（Np）
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物理量に対するレベル表現（レベルひょうげん、英語: level）とは、基準となる量との比の対数で表す指標である。単位はデシベル（記号: dB）がよく用いられる。


レベル表現が必要とされる場面は数十桁という範囲でかけ離れた物理量を扱うときである。通常の単に単位量の何倍かだけで表す方法では非常に大きな（あるいは小さな）数を扱うことになり、非常に扱いづらい。しかし対数を取ることで扱いやすい（たかだか2～3桁の）数となる。


レベル表現は一つの表現形式であり、物量量の単位での表現と同一の情報を持つ。分野によっては、もっぱらレベル表現が使用される。



定義


物理量 A の基準量 A0 に対するレベル L は次のように定義される。



L=aln⁡AA0{displaystyle L=aln {frac {A}{A_{0}}}}L=aln {frac {A}{A_{0}}}



基準量 A0 は A と同種の量で同じ次元をもつ。従って、対数の中の比 A/A0 は無次元の量となり、冪級数として解析的に定義される対数関数との次元は整合している。基準量の変更はレベル L の零点の変更に相当する。各分野において基準量には標準的な設定がされている。
国際量体系においては係数 a に次元が与えられていないので、レベル L も無次元量である。


係数 a のベル（記号: B）、デシベル（記号: dB）及びネーパ（記号: Np）に対する値は



a=1 Bln⁡10=10 dBln⁡10=1 Np{displaystyle a={frac {1 {text{B}}}{ln 10}}={frac {10 {text{dB}}}{ln 10}}=1 {text{Np}}}a={frac {1 {text{B}}}{ln 10}}={frac {10 {text{dB}}}{ln 10}}=1 {text{Np}}



である。係数 a は対数の底を取り換える働きをして



L/B=log10⁡AA0{displaystyle L/{text{B}}=log _{10}{frac {A}{A_{0}}}}L/{text{B}}=log _{{10}}{frac {A}{A_{0}}}




L/dB=10log10⁡AA0≃log1.259⁡AA0{displaystyle L/{text{dB}}=10log _{10}{frac {A}{A_{0}}}simeq log _{1.259}{frac {A}{A_{0}}}}L/{text{dB}}=10log _{{10}}{frac {A}{A_{0}}}simeq log _{{1.259}}{frac {A}{A_{0}}}




L/Np=ln⁡AA0{displaystyle L/{text{Np}}=ln {frac {A}{A_{0}}}}L/{text{Np}}=ln {frac {A}{A_{0}}}



となる。つまりベルなら底が10の常用対数、ネーパは底がeの自然対数で表した値である。デシベルで表した数値はベルで表した数値を10倍すれば得られるが、101/10 ≒ 1.259 が底と考えることもできる。


A や A0 には任意の物理量を選ぶことができるが、（変位でなく）エネルギー的な量を選ぶことが標準であり、音圧など変位的な量には (a/a0)2 と二乗する。
A は一定時間に亘る実効値（エネルギー的平均値）であることが多いが、瞬時値であっても同様にレベルを定義できる。



特殊な単位


dBなど物理量を問わず使えるレベル表現の単位を使うほか、特定の物理量に対しレベル表現をする指標がある。身近な表現としては「桁」があり、巨大な数を簡潔に表せる点など本質的にレベル表現と同じである。


これらは定数倍することでデシベルやネーパに換算できる（デシベルなどを使うのは慣習に反するが）。なお、底が1より小さい場合、指標が大きいほど実際の物理量は小さくなる。







































Aの物理量		 指標 底
任意 桁 10
水素イオン濃度
水素イオン指数 (pH)		 1 / 10
地震のモーメント
マグニチュード (M)		 101.5 ≒ 31.623
天体の光度 等級 10−0.4 ≒ 1 / 2.512
音の周波数
 オクターブ 2
音の周波数 半音 21/12 ≒ 1.059


関連項目



  • デシベル

  • オーダー (物理学)




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