Limits of a density function












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If the limit of a density function exists does it the follow that it is zero? To put is formally



$$exists a in mathbb R lim_{t rightarrow infty} f(t) = a Rightarrow a= 0.$$






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    If the limit of a density function exists does it the follow that it is zero? To put is formally



    $$exists a in mathbb R lim_{t rightarrow infty} f(t) = a Rightarrow a= 0.$$






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      If the limit of a density function exists does it the follow that it is zero? To put is formally



      $$exists a in mathbb R lim_{t rightarrow infty} f(t) = a Rightarrow a= 0.$$






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      If the limit of a density function exists does it the follow that it is zero? To put is formally



      $$exists a in mathbb R lim_{t rightarrow infty} f(t) = a Rightarrow a= 0.$$






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      asked 4 hours ago









      Jesper HybelJesper Hybel

      921614




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          Yes.



          Suppose the limit is anything else, so $lim_{t rightarrow infty} f(t) = a neq 0$. Then, by the definition of the limit, there is an $N$ so that for all $t > N$, $| f(t) - a | < frac{a}{2}$. In particular, $f(t) > frac{a}{2}$ in this reigon.



          But then:



          $$
          int_{mathbf{R}} f(t) dt geq int_{N}^{infty} f(t) dt geq int_{N}^{infty} frac{a}{2} dt = infty
          $$



          So $f$ cannot be a density function.






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            StackExchange.ifUsing("editor", function () {
            return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
            StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
            StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
            });
            });
            }, "mathjax-editing");

            StackExchange.ready(function() {
            var channelOptions = {
            tags: "".split(" "),
            id: "65"
            };
            initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

            StackExchange.using("externalEditor", function() {
            // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
            if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
            StackExchange.using("snippets", function() {
            createEditor();
            });
            }
            else {
            createEditor();
            }
            });

            function createEditor() {
            StackExchange.prepareEditor({
            heartbeatType: 'answer',
            autoActivateHeartbeat: false,
            convertImagesToLinks: false,
            noModals: true,
            showLowRepImageUploadWarning: true,
            reputationToPostImages: null,
            bindNavPrevention: true,
            postfix: "",
            imageUploader: {
            brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
            contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
            allowUrls: true
            },
            onDemand: true,
            discardSelector: ".discard-answer"
            ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
            });


            }
            });














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            StackExchange.ready(
            function () {
            StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fstats.stackexchange.com%2fquestions%2f394594%2flimits-of-a-density-function%23new-answer', 'question_page');
            }
            );

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            Yes.



            Suppose the limit is anything else, so $lim_{t rightarrow infty} f(t) = a neq 0$. Then, by the definition of the limit, there is an $N$ so that for all $t > N$, $| f(t) - a | < frac{a}{2}$. In particular, $f(t) > frac{a}{2}$ in this reigon.



            But then:



            $$
            int_{mathbf{R}} f(t) dt geq int_{N}^{infty} f(t) dt geq int_{N}^{infty} frac{a}{2} dt = infty
            $$



            So $f$ cannot be a density function.






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              Yes.



              Suppose the limit is anything else, so $lim_{t rightarrow infty} f(t) = a neq 0$. Then, by the definition of the limit, there is an $N$ so that for all $t > N$, $| f(t) - a | < frac{a}{2}$. In particular, $f(t) > frac{a}{2}$ in this reigon.



              But then:



              $$
              int_{mathbf{R}} f(t) dt geq int_{N}^{infty} f(t) dt geq int_{N}^{infty} frac{a}{2} dt = infty
              $$



              So $f$ cannot be a density function.






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                Yes.



                Suppose the limit is anything else, so $lim_{t rightarrow infty} f(t) = a neq 0$. Then, by the definition of the limit, there is an $N$ so that for all $t > N$, $| f(t) - a | < frac{a}{2}$. In particular, $f(t) > frac{a}{2}$ in this reigon.



                But then:



                $$
                int_{mathbf{R}} f(t) dt geq int_{N}^{infty} f(t) dt geq int_{N}^{infty} frac{a}{2} dt = infty
                $$



                So $f$ cannot be a density function.






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                Yes.



                Suppose the limit is anything else, so $lim_{t rightarrow infty} f(t) = a neq 0$. Then, by the definition of the limit, there is an $N$ so that for all $t > N$, $| f(t) - a | < frac{a}{2}$. In particular, $f(t) > frac{a}{2}$ in this reigon.



                But then:



                $$
                int_{mathbf{R}} f(t) dt geq int_{N}^{infty} f(t) dt geq int_{N}^{infty} frac{a}{2} dt = infty
                $$



                So $f$ cannot be a density function.







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                Matthew DruryMatthew Drury

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                    StackExchange.ready(
                    function () {
                    StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fstats.stackexchange.com%2fquestions%2f394594%2flimits-of-a-density-function%23new-answer', 'question_page');
                    }
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