Differentiation under the integral sign - what transformations to use?












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Need some help with this integral



$$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



Taking the first derivative with respect to $alpha$



$$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






calculus integration







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    Need some help with this integral



    $$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



    Taking the first derivative with respect to $alpha$



    $$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



    What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






    calculus integration







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      Need some help with this integral



      $$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



      Taking the first derivative with respect to $alpha$



      $$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



      What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






      calculus integration







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      Need some help with this integral



      $$I (alpha) = int_1^infty {arctan(alpha x) over x^2sqrt{x^2-1}} dx$$



      Taking the first derivative with respect to $alpha$



      $$I' (alpha) = int_1^infty { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }$$



      What transformations to use in order to solve $I'(alpha)$?






      calculus integration




      calculus integration






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          Substitute
          $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
          Then
          $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
          Perform partial fraction decomposition
          $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
          Sure you know that
          $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
          To solve for
          $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
          Use substitution
          $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
          $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
          Now plug in back $x$, you would get



          $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
          I think you can handle the rest of the calculation.






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            StackExchange.ifUsing("editor", function () {
            return StackExchange.using("mathjaxEditing", function () {
            StackExchange.MarkdownEditor.creationCallbacks.add(function (editor, postfix) {
            StackExchange.mathjaxEditing.prepareWmdForMathJax(editor, postfix, [["$", "$"], ["\\(","\\)"]]);
            });
            });
            }, "mathjax-editing");

            StackExchange.ready(function() {
            var channelOptions = {
            tags: "".split(" "),
            id: "69"
            };
            initTagRenderer("".split(" "), "".split(" "), channelOptions);

            StackExchange.using("externalEditor", function() {
            // Have to fire editor after snippets, if snippets enabled
            if (StackExchange.settings.snippets.snippetsEnabled) {
            StackExchange.using("snippets", function() {
            createEditor();
            });
            }
            else {
            createEditor();
            }
            });

            function createEditor() {
            StackExchange.prepareEditor({
            heartbeatType: 'answer',
            autoActivateHeartbeat: false,
            convertImagesToLinks: true,
            noModals: true,
            showLowRepImageUploadWarning: true,
            reputationToPostImages: 10,
            bindNavPrevention: true,
            postfix: "",
            imageUploader: {
            brandingHtml: "Powered by u003ca class="icon-imgur-white" href="https://imgur.com/"u003eu003c/au003e",
            contentPolicyHtml: "User contributions licensed under u003ca href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/"u003ecc by-sa 3.0 with attribution requiredu003c/au003e u003ca href="https://stackoverflow.com/legal/content-policy"u003e(content policy)u003c/au003e",
            allowUrls: true
            },
            noCode: true, onDemand: true,
            discardSelector: ".discard-answer"
            ,immediatelyShowMarkdownHelp:true
            });


            }
            });














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            StackExchange.ready(
            function () {
            StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3081395%2fdifferentiation-under-the-integral-sign-what-transformations-to-use%23new-answer', 'question_page');
            }
            );

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            Substitute
            $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
            Then
            $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
            Perform partial fraction decomposition
            $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
            Sure you know that
            $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
            To solve for
            $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
            Use substitution
            $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
            $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
            Now plug in back $x$, you would get



            $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
            I think you can handle the rest of the calculation.






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              Substitute
              $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
              Then
              $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
              Perform partial fraction decomposition
              $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
              Sure you know that
              $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
              To solve for
              $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
              Use substitution
              $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
              $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
              Now plug in back $x$, you would get



              $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
              I think you can handle the rest of the calculation.






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                Substitute
                $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
                Then
                $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
                Perform partial fraction decomposition
                $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Sure you know that
                $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
                To solve for
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Use substitution
                $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
                Now plug in back $x$, you would get



                $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
                I think you can handle the rest of the calculation.






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                Substitute
                $$u=sqrt{x^2-1}implies du=frac{x}{sqrt{x^2-1}}dximplies dx=frac{sqrt{x^2-1}}{x}du$$
                Then
                $$int { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=int { duover x^2(1+alpha^2 x^2)}=int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }$$
                Perform partial fraction decomposition
                $$int { duover (u^2+1)(a^2u^2+a^2+1) }=intfrac{du}{u^2+1}-a^2intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Sure you know that
                $$intfrac{du}{u^2+1}=arctan(u)+C$$
                To solve for
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}$$
                Use substitution
                $$v=frac{au}{sqrt{a^2+1}}implies du=frac{a^2+1}{a}$$
                $$intfrac{du}{a^2u^2+a^2+1}=intfrac{sqrt{a^2+1}dv}{a((a^2+1)v^2+a^2+1)}=frac{1}{asqrt{a^2+1}}intfrac{dv}{v^2+1}=frac{arctan(v)}{asqrt{a^2+1}}+C$$
                Now plug in back $x$, you would get



                $$int_{1}^{infty} { dxover (1+alpha^2 x^2) xsqrt{x^2-1} }=left[arctanleft(sqrt{x^2-1}right)-frac{aarctanleft(frac{asqrt{x^2-1}}{a^2+1}right)}{sqrt{a^2+1}}right]_{1}^{infty}$$
                I think you can handle the rest of the calculation.







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                    StackExchange.ready(
                    function () {
                    StackExchange.openid.initPostLogin('.new-post-login', 'https%3a%2f%2fmath.stackexchange.com%2fquestions%2f3081395%2fdifferentiation-under-the-integral-sign-what-transformations-to-use%23new-answer', 'question_page');
                    }
                    );

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                    広島県道265号伴広島線

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                    一般県道 広島県道265号伴広島線 路線延長 km 起点 広島県広島市安佐南区伴東7丁目 終点 広島県広島市中区榎町 接続する 主な道路 （記法） 広島県道38号広島豊平線 広島県道71号広島湯来線 山陽自動車道五日市IC 国道183号（ 国道261号重複） ■テンプレート（■ノート ■使い方） ■PJ道路 広島県道265号伴広島線 （ひろしまけんどう265ごう ともひろしません）は広島県広島市安佐南区から広島県広島市中区を結ぶ一般県道である。 目次 1 路線データ 2 通過する自治体 3 見どころ 4 接続道路 4.1 本線 4.2 旧道 5 別名 6 関連項目 路線データ 本線 起点：広島市安佐南区伴東7丁目・大原下橋南詰交差点（広島県道38号広島豊平線（本線・旧道）交点） 終点：広島市中区榎町・十日市交差点（国道183号（国道261号重用）交点） 総延長： 旧道 起点：広島市安佐南区伴東4丁目・新細坂交差点（広島県道38号広島豊平線交点） 終点：広島市安佐南区伴中央4丁目・寺組橋(南)交差点（広島県道265号伴広島線（本線）交点） 総延長： 通過する自治体 広島県 広島市（安佐南区、佐伯区、西区、中区） 見どころ 広島高速交通広島新交通1号線（アストラムライン） 広島広域公園 広島広域公園陸上競技場（広島ビッグアーチ） 己斐峠 己斐橋（太田川放水路） 天満橋（天満川） 接続道路 本線 広島県道38号広島豊平線（本線・旧道）（広島市安佐南区伴東7丁目・大原下橋南詰交差点〔起点〕） 広島県道71号広島湯来線（本線）（広島市安佐南区伴中央2丁目・伴交番入口交差点 - 広島市安佐南区伴中央4丁目・寺組橋(南)交差点間で重用） 広島県道71号広島湯来線（旧道）（広島県道265号伴広島線（旧道）重用）（広島市安佐南区伴中央4丁目・寺組橋(南)交差点） 広島県道71号広島湯来線（広島市安佐南区伴中央4丁目・寺組橋(南)交差点 - 広島市佐伯区五日市町石内・五月が丘(南)交差点間で重用）
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                    Setup Asymptote in Texstudio

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                    0 Good time of the day! I am trying to compile the following file: documentclass[12pt]{article} usepackage[inline]{asymptote} begin{document} Here is a venn diagram produced with Asymptote, drawn to width 4cm: defA{A} defB{V{B}} begin{figure} begin{center} begin{asy} size(4cm,0); pen colour1=red; pen colour2=green; pair z0=(0,0); pair z1=(-1,0); pair z2=(1,0); real r=1.5; path c1=circle(z1,r); path c2=circle(z2,r); fill(c1,colour1); fill(c2,colour2); picture intersection=new picture; fill(intersection,c1,colour1+colour2); clip(intersection,c2); add(intersection); draw(c1); draw(c2); //draw("$A$",box,z1)
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